Расчет балки
Проверяет сечение по двум условиям сразу: прочность (напряжение против расчетного сопротивления) и жесткость (прогиб против предельного). Работает с деревом, двутавром и железобетоном - для ЖБ подбирает арматуру
Как рассчитать балку в калькуляторе
Как пользоваться калькулятором
-
Выберите расчетную схему
Шарнирная балка на двух опорах - это перемычка, прогон, балка перекрытия. Консоль - козырек, балкон, вылет свеса. Нагрузка бывает равномерной (кг на погонный метр) или сосредоточенной (одна сила в точке)
-
Задайте пролет и нагрузку
Пролет - расстояние между осями опор, а не длина заготовки. Нагрузка задается нормативная: расчетную калькулятор получит сам, умножив ее на коэффициент надежности
-
Укажите материал и сечение
Для дерева - порода и сорт плюс ширина и высота бруса. Для стали - марка и номер двутавра из сортамента. Для железобетона - класс бетона, размеры сечения и класс арматуры
-
Проверьте два условия
Прочность: напряжение в сечении не должно превышать расчетное сопротивление материала. Жесткость: прогиб не должен быть больше предельного - обычно L/250 для перекрытий
-
Заберите результат
Скопируйте расчет, распечатайте в PDF или отправьте ссылку - все параметры сохранятся в адресе страницы
Формула расчета балки
Балку проверяют по двум предельным состояниям, и это два разных расчета с разными нагрузками
Первое - прочность. Берут расчетную нагрузку (нормативную, умноженную на коэффициент надежности γf = 1,1-1,3), находят максимальный изгибающий момент и делят его на момент сопротивления сечения:
- Две опоры, равномерная нагрузка: M = q·L² / 8
- Две опоры, сила посередине: M = P·L / 4
- Консоль, равномерная нагрузка: M = q·L² / 2
- Консоль, сила на конце: M = P·L
Условие прочности: σ = M / W ≤ R. Для прямоугольного сечения момент сопротивления W = b·h²/6, момент инерции I = b·h³/12. Для проката W и I берут из сортамента
Второе - жесткость. Здесь в формулу идет нормативная нагрузка, без коэффициента надежности: прогиб - это то, что видит и чувствует человек, а не аварийная ситуация
- Две опоры, равномерная нагрузка: f = 5·q·L⁴ / (384·E·I)
- Две опоры, сила посередине: f = P·L³ / (48·E·I)
- Консоль, равномерная нагрузка: f = q·L⁴ / (8·E·I)
- Консоль, сила на конце: f = P·L³ / (3·E·I)
Условие жесткости: f ≤ L / n, где n берут по СП 20.13330.2016 - чаще всего 250 для перекрытий и 200 для покрытий. Обратите внимание на четвертую степень пролета: удлинили балку на 20 % - прогиб вырос вдвое
Для железобетона расчет другой: сечение не "проверяют по σ", а подбирают арматуру. Требуемая площадь рабочей арматуры As = M / (0,9 · h₀ · Rs), где h₀ - рабочая высота (полная высота минус расстояние до центра стержней). Прогиб ЖБ-балки считают по сниженной жесткости: бетон в растянутой зоне трещиноват и в работе почти не участвует
Пример расчета деревянной балки
Задача. Балка перекрытия на двух опорах, пролет 4 м, нагрузка 300 кг/м, сосна 2-го сорта (R = 13 МПа, E = 10 000 МПа), сечение 100 × 200 мм, γf = 1,2, предельный прогиб L/250
Собственный вес. 0,1 × 0,2 × 520 кг/м³ = 10,4 кг/м. Нормативная нагрузка: 300 + 10,4 = 310,4 кг/м. Расчетная: 310,4 × 1,2 = 372,5 кг/м = 3 654 Н/м
Геометрия сечения. W = 100 × 200² / 6 = 666 667 мм³ = 667 см³. I = 100 × 200³ / 12 = 6 667 см⁴
Прочность. M = 3 654 × 4² / 8 = 7 308 Н·м. σ = 7 308 / 0,000667 = 10 962 000 Па = 11,0 МПа ≤ 13 МПа - проходит с запасом 16 %. Требуемый момент сопротивления 7 308 / 13 000 000 = 562 см³, а у нас 667 см³
Жесткость. Нормативная нагрузка 310,4 кг/м = 3 045 Н/м. f = 5 × 3 045 × 4⁴ / (384 × 10 000·10⁶ × 0,000066667) = 15,2 мм. Предел: 4 000 / 250 = 16 мм. Проходит - но впритык, фактически L/263
Вывод. Сечение определил именно прогиб, а не прочность: по напряжениям запас был еще приличный. Так бывает почти всегда в деревянных перекрытиях
Расчет деревянной балки: что подставлять
Расчетное сопротивление изгибу зависит от породы и сорта. Сосна и ель 2-го сорта - 13 МПа, и это тот пиломатериал, который лежит на любой базе. Третий сорт (8,5 МПа) в несущих конструкциях не применяют: сучки в растянутой зоне обнуляют прочность. Модуль упругости у всех хвойных одинаковый - 10 000 МПа, поэтому на прогиб порода почти не влияет, влияет только сечение
Отсюда практическое правило: если балка "играет", бесполезно менять сосну на лиственницу - нужно наращивать высоту. Увеличение высоты со 150 до 200 мм уменьшает прогиб в 2,4 раза, а увеличение ширины со 100 до 150 мм - только в 1,5 раза
Расчет металлической балки: подбор двутавра
Стальную балку подбирают по требуемому моменту сопротивления: Wтр = M / Ry, затем по сортаменту ищут ближайший больший профиль. Для стали С245 Ry = 240 МПа - это в 18 раз больше, чем у сосны, поэтому металл почти никогда не "не проходит" по прочности. Ограничением снова становится прогиб
| Двутавр | Высота, мм | Полка, мм | Масса, кг/м | Wx, см³ | Ix, см⁴ | Обычно применяют |
|---|---|---|---|---|---|---|
| №10 | 100 | 55 | 9.46 | 39.7 | 198 | перемычки, короткие пролеты |
| №12 | 120 | 64 | 11.5 | 58.4 | 350 | перемычки до 2 м |
| №14 | 140 | 73 | 13.7 | 81.7 | 572 | пролет до 3 м |
| №16 | 160 | 81 | 15.9 | 109 | 873 | пролет 3-4 м |
| №18 | 180 | 90 | 18.4 | 143 | 1290 | пролет 4-5 м |
| №20 | 200 | 100 | 21 | 184 | 1840 | перекрытие 5-6 м |
| №22 | 220 | 110 | 24 | 232 | 2550 | перекрытие 6 м |
| №24 | 240 | 115 | 27.3 | 289 | 3460 | перекрытие 6-7 м |
| №27 | 270 | 125 | 31.5 | 371 | 5010 | перекрытие 7 м |
| №30 | 300 | 135 | 36.5 | 472 | 7080 | прогоны, пролет 7-8 м |
| №33 | 330 | 140 | 42.2 | 597 | 9840 | прогоны, пролет 8 м |
| №36 | 360 | 145 | 48.6 | 743 | 13380 | пролет 9 м |
| №40 | 400 | 155 | 57 | 953 | 19062 | пролет 10 м и больше |
Расчетные характеристики материалов
R - расчетное сопротивление изгибу (для стали это Ry, для бетона Rb), E - модуль упругости, от которого напрямую зависит прогиб
| Материал | Группа | R, МПа | E, МПа | Плотность, кг/м³ | Примечание |
|---|---|---|---|---|---|
| Сосна / ель, сорт 1 | Дерево | 14 | 10000 | 520 | отборный брус, СП 64.13330.2017 |
| Сосна / ель, сорт 2 | Дерево | 13 | 10000 | 520 | обычный пиломатериал, самый ходовой |
| Сосна / ель, сорт 3 | Дерево | 8.5 | 10000 | 520 | сучковатая доска, несущие не делают |
| Лиственница, сорт 2 | Дерево | 15.6 | 10000 | 650 | коэффициент породы 1,2 к сосне |
| Дуб, сорт 2 | Дерево | 16.9 | 10000 | 700 | коэффициент породы 1,3 |
| Клееный брус, сорт 1 | Дерево | 15 | 10000 | 520 | клееная древесина, большие пролеты |
| LVL-брус | Дерево | 24 | 14000 | 600 | шпоновый брус, самый прочный из дерева |
| Сталь С245 | Сталь | 240 | 206000 | 7850 | Ry, прокат до 20 мм, СП 16.13330.2017 |
| Сталь С255 | Сталь | 250 | 206000 | 7850 | Ry, самая ходовая для балок |
| Сталь С345 | Сталь | 335 | 206000 | 7850 | Ry, низколегированная |
| Бетон B20 (М250) | Железобетон | 11.5 | 27500 | 2500 | Rb, СП 63.13330.2018 |
| Бетон B25 (М350) | Железобетон | 14.5 | 30000 | 2500 | Rb, типовые балки и плиты |
| Бетон B30 (М400) | Железобетон | 17 | 32500 | 2500 | Rb, ригели и большие пролеты |
Предельные прогибы по СП 20.13330.2016
| Конструкция | Предел | Пролет 3 м | Пролет 4 м | Пролет 6 м |
|---|---|---|---|---|
| Балки покрытий, прогоны | L/200 | 15 мм | 20 мм | 30 мм |
| Балки междуэтажных перекрытий | L/250 | 12 мм | 16 мм | 24 мм |
| Балки под жестким потолком | L/300 | 10 мм | 13 мм | 20 мм |
| Балки под штукатуркой по сетке | L/350 | 8,6 мм | 11 мм | 17 мм |
| Второстепенные, навесы | L/150 | 20 мм | 27 мм | 40 мм |
Частые ошибки
- Считают только прочность. Балка "проходит по σ", а пол пружинит и посуда звенит. В дереве и стали сечение почти всегда диктует прогиб - проверяйте оба условия
- В прогиб подставляют расчетную нагрузку. Прогиб считают по нормативной: коэффициент надежности здесь не нужен, иначе получится завышенный на 20 % результат и лишний номер профиля
- Путают пролет и длину балки. Пролет - между осями опор. Заготовка длиннее на два опирания (по 100-200 мм с каждой стороны), но в формулу идет именно пролет
- Забывают собственный вес. У ЖБ-балки 250 × 400 мм он равен 250 кг/м - это часто больше самой полезной нагрузки
- Кладут балку "плашмя". Доска 50 × 200, положенная на ребро, жестче той же доски плашмя в 16 раз. Высота сечения входит в момент инерции в кубе
- Не раскрепляют верхний пояс стальной балки. Узкий двутавр без настила теряет устойчивость плоской формы изгиба задолго до достижения Ry
Частые вопросы
Поставьте этот калькулятор себе на сайт Бесплатный виджет для строительного магазина или подрядчика: вставляется одной строкой, считает в браузере клиента. Нужен свой калькулятор под ваши материалы и цены - сделаем
Получить виджет